Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，設(shè)，．

（1）求證：為定值；

（2）是否存在平行于軸的定直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值？如果存在，求出該直線方程和弦長，如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）弦長為定值，直線方程為.

【解析】

試題分析：（1）分情況討論: 當(dāng)直線垂直于軸時(shí), 計(jì)算得;當(dāng)直線不垂直于軸時(shí), 設(shè)直線方程為: 代入拋物線方程得,因此有為定值；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線距離公式及勾股定理可求得弦長為 ，進(jìn)而得時(shí)為定值.

試題解析：（1）設(shè)直線的方程為，由

得，∴，

因此有為定值．

（2）設(shè)存在直線：滿足條件，則的中點(diǎn)，，

因此以為直徑圓的半徑，點(diǎn)到直線的距離，

所以所截弦長為

．

當(dāng)，即時(shí)，弦長為定值2，這時(shí)直線方程為．