Question

已知A（4，0），B（0，3）和△AOB的內切圓（x-1）²+（y-1）²=1，P（x，y）為圓周上一點．
（1）求點P到直線l：3x+4y+3=0距離的最大值；
（2）若M=|PA|²+|PB|²，求M的最大值與最小值．

Answer 1

解：（1）由已知圓心O'（1，1），r=1，
∴O'到直線l的距離，
∴P（x，y）到直線l的距離最大值為d+r=2+1=3．
（2）設P（x，y），則點P滿足，
則M=|PA|²+|PB|²=（cosθ-3）²+（1+sinθ）²+（1+cosθ）²+（sinθ-2）²]
=17-（2sinθ+4cosθ）=，
∴當sin（θ+φ）=1時 ；
當sin（θ+φ）=-1時 ．
分析：（1）求出圓的圓心與半徑，利用圓心與直線的距離公式求出距離，即可求出點P到直線l：3x+4y+3=0距離的最大值；
（2）設出P的坐標的參數形式，利用M=|PA|²+|PB|²，求出表達式，通過三角函數的有界性，求M的最大值與最小值．
點評：本題是中檔題，考查點到直線的距離公式的應用，圓與直線的關系，圓的參數方程，三角函數的應用，考查計算能力．