Question

在直角坐標系中，定義：(xn，yn)

1 1 1 -1

=(xn+1，yn+1)，即

xn+1=xn+yn yn+1=xn-yn

（n∈N^*）為點P_n（x_n，y_n）到點P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一個變換．我們把它稱為點變換（或矩陣變換）．已知P₁（1，0）．
（1）求直線y=x在矩陣變換下的直線方程；
（2）設d_n=|OP_n|²（n∈N^*），求證：d_n為等比數列，并寫出d_n的通項公式；
（3）設P₂（x₂，y₂）…，P_n（x_n+1，y_n+1）（n∈N^*）是經過點變換得到的一列點．求數列x_n，y_n的通項公式．

Answer 1

分析：（1）（0，0）是變換中的不動點，（1，1）變成（2，0），所以直線y=0；
（2）因為

dn+1

dn

=

xn+12yn+12

xn2+yn2

=

(xn+yn)2+(xn-yn)2

xn2+yn2

，據此可寫出d_n的通項公式；
（3）由

xn+1=xn+yn yn+1=xn-yn

，x_n=x_n-1+y_n-1=x_n-2+y_n-2+x_n-2-y_n-2=2x_n-2（n≥3），所以x₁=1，x₂=1，x_n=2x_n-2（n≥3），同理得y₁=0，y₂=1，y_n=2y_n-2（n≥3），由此可求出數列x_n，y_n的通項公式．

解答：解：（1）（0，0）是變換中的不動點，（1，1）變成（2，0），
所以直線y=x變成x軸，即直線y=0；
（2）（1）因為

dn+1

dn

=

xn+12yn+12

xn2+yn2

=

(xn+yn)2+(xn-yn)2

xn2+yn2

所以d_n是首項為1，公比為2的等比數列，d_n=2^n-1；
（3）由

xn+1=xn+yn yn+1=xn-yn

，x_n=x_n-1+y_n-1=x_n-2+y_n-2+x_n-2-y_n-2=2x_n-2（n≥3），
所以x₁=1，x₂=1，x_n=2x_n-2（n≥3），同理得y₁=0，y₂=1，y_n=2y_n-2（n≥3），
則yn=

2 n 2 -1(n為偶數) 0  (n為奇數)

，xn=

2 n 2 -1(n為偶數) 2 n-1 2 (n為奇數)

．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意數列通項公式的求法．