Question

【題目】如圖，等腰梯形中，，，E為CD中點，將沿AE折到的位置．

（1）證明：；

（2）當折疊過程中所得四棱錐體積取最大值時，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

（1）在平面圖中，連BE，DB，設DB交AE于F，要證，轉證平面，即證；

（2）要使四棱錐體積最大，則需要平面垂直于底面，以為原點建立直角坐標系，利用空間向量法求出線面角的正弦值．

解：（1）在平面圖中，連BE，DB，設DB交AE于F，

因為是等腰梯形，，，E為CD中點

即，且

故四邊形為平行四邊形

又

所以平行四邊形為棱形，

同理可證也為棱形

所以．

于是得出在立體圖形中，

，平面

所以平面，

平面，

故

（2）要使四棱錐體積最大，則需要平面垂直于底面，

此時平面，

以為原點，為軸建立空間直角坐標系，

則

則

設平面的法向量為

由，得

令，得

直線與平面所成角的正弦值為.