Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且ABBP2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．

（1）求平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值；

（2）線段PD上是否存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，試確定點N的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）當點N與點D重合時，直線BN與平面PCD所成角α的正弦值等于。

【解析】

試題分析：（1）由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，所以直線，兩兩垂直，以為原點，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系, 為平面的一個法向量，利用向量垂直的性質(zhì)列方程組求出平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果；（2）設，．由（1）知，平面的一個法向量為，利用空間向量夾角余弦公式列方程求解即可.

試題解析：（1）因為平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEPAB，BP⊥AB，

所以BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，所以直線BA，BP，BC兩兩垂直，

以B為原點，分別以BA，BP，BC為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），

因為BC⊥平面ABPE，所以為平面ABPE的一個法向量，

，設平面PCD的一個法向量為，

則 即令，則，故，

設平面PCD與平面ABPE所成的二面角為，則，

顯然，所以平面PCD與平面ABPE所成二面角的余弦值．

（2）設線段PD上存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角α的正弦值等于．

設，．

由（1）知，平面PCD的一個法向量為，

所以，

即，解得或（舍去）．

當點N與點D重合時，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為．