Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）求函數(shù)的最小值．

（Ⅱ）是否存在一次函數(shù)，使得對(duì)于，總有，且成立？若存在，求出的表達(dá)式；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（1）表示出，用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出最小值；
（2）由（Ⅰ）知，從而得，于是h（x）可表示為關(guān)于k的一次函數(shù)，根據(jù)f（x）≥h（x）恒成立可求得k值，從而可求得h（x）表達(dá)式，再驗(yàn)證h（x））≥g（x）對(duì)一切x＞0恒成立即可；

試題解析：（Ⅰ） 的定義域?yàn)?/span>， ，

，

易知時(shí)， ， 時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)時(shí)， 取得最小值為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，

所以，

故可證，代入，

得恒成立，

∴，

∴， ，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，

即對(duì)一切恒成立，

綜上，存在一次函數(shù)，使得對(duì)于，總有，

且， ．