Question

【題目】選修4-5：不等式選講

設函數f(x)＝e2x－aln x.

(1)討論f(x)的導函數f′(x)零點的個數；

(2)證明：當a>0時，f(x)≥2a＋aln.

Answer 1

【答案】（1）當a≤0時沒有零點．當a>0時存在唯一零點．（2）見解析

【解析】試題分析：(1) 先求導數，根據a確定導函數零點個數，(2)先確定f(x)最小值，再根據基本不等式求最值，確定不等式

試題解析：解：(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－ (x>0)．

當a≤0時，f′(x)>0，f′(x)沒有零點．

當a>0時，因為e2x單調遞增，－單調遞增，所以f′(x)在(0，＋∞)上單調遞增．又f′(a)>0，當b滿足0<b<且b<時，f′(b)<0，故當a>0時，f′(x)存在唯一零點．

(2)證明：由(1)可設f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零點為x0.當x∈(0，x0)時，f′(x)<0；當x∈(x0，＋∞)時，f′(x)>0.

故f(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，＋∞)上單調遞增，所以當x＝x0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0)．

由于2e2x0－＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln.

故當a>0時，f(x)≥2a＋aln.