Question

【題目】已知函數.

（1）若在定義域上不單調，求的取值范圍；

（2）設分別是的極大值和極小值，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】分析：由已知，

(1)①若在定義域上單調遞增，討論可得；②若在定義域上單調遞減，討論可得.據此可得.

(2)由(1)知，.令的兩根分別為，設，則，計算可得 令，換元討論可得.

詳解：由已知，

(1)①若在定義域上單調遞增，則，即在(0，+∞)上恒成立，

而，所以；

②若在定義域上單調遞減，則，即在(0，+∞)上恒成立，

而，所以.

因為在定義域上不單調，所以，即.

(2)由(1)知，欲使在(0，+∞)有極大值和極小值，必須.

又，所以.

令的兩根分別為，

即的兩根分別為，于是.

不妨設，

則在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，

所以

令，于是.

，

由，得.

因為，

所以在上為減函數.

所以.