Question

【題目】已知橢圓C：經(jīng)過定點(diǎn)，其左右集點(diǎn)分別為，且，過右焦且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圈交于P，Q兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程：

（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在線段上是否存在點(diǎn)，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，m的取值范圍為

【解析】

（1）由橢圓的定義可求出a的值，再把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求出b的值，從而得到橢圓C的方程；

（2）先設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)以直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到P，Q橫坐標(biāo)的和與積，再利用菱形的對(duì)角線垂直得到向量數(shù)量為0，將坐標(biāo)代入后化簡(jiǎn)得到m與k的關(guān)系式，可求出m的取值范圍.

解：（1）∵點(diǎn)E在橢圓上，且，

∴，，

又∵定點(diǎn)在橢圓上，∴，

∴，

∴橢圓C的方程為：；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)，，直線l的方程為：，

聯(lián)立方程，消去y得：，

∴，，，

又，，，

∴，

由題意知.

，

∵，∴，

即，

則，

∴，

∴，

故存在點(diǎn)，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，m的取值范圍為.