Question

【題目】已知橢圓的離心率為，直線，圓的方程為，直線被圓截得的弦長與橢圓的短軸長相等，橢圓的左頂點為，上頂點為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知經過點且斜率為直線與橢圓有兩個不同的交點和，請問是否存在常數，使得向量與共線？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在；詳見解析

【解析】

（1）求得圓心到直線的距離，利用直線和圓相交所得弦長公式列方程，解方程求得的值，結合橢圓離心率以及，求得的值，進而求得橢圓離心率.

（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，寫出根于系數關系以及判別式，利用與共線以及向量共線的坐標表示列方程，由此判斷出不存在符合題意的常數.

（1）圓心到直線的距離為，

直線被圓截得的弦長，.

由橢圓離心率為，結合可得，.即橢圓的方程為：.

（2）設直線的方程為，

代入橢圓方程，整理，得，①

因為直線與橢圓有兩個不同的交點和等價于，

解得.

設，，則，

由①得，②

又，③

因為，所以.

所以與共線等價于.

將②③代入上式，解得，（舍）.

因為不滿足，

所以不存在常數，使得向量與共線.