Question

（2013•浙江模擬）已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，點P是拋物線上的一點，且其縱坐標為4，|PF|=4．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ） 設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y_i≤0，i=1，2）是拋物線上的兩點，∠APB的角平分線與x軸垂直，求△PAB的面積最大時直線AB的方程．

Answer 1

分析：（I）根據拋物線的定義，利用|PF|=4，求得P即可；
（II）根據條件判定直線PA、PB的斜率關系，求出直線AB的斜率，再設出直線AB的方程，根據三角形PAB面積最大時的條件，求出三角形PAB面積的最大值，
及最大值時直線AB的方程．

解答：解：（I）∵|PF|=4，∴x_P+

P

2

=4，
∴P點的坐標是（4-

P

2

，4），
∴有16=2P（4-

P

2

）⇒P=4，
∴拋物線方程是y²=8x．
（II）由（I）知點P的坐標為（2，4），
∵∠APB的角平分線與x軸垂直，∴PA、PB的傾斜角互補，即PA、PB的斜率互為相反數，
設PA的斜率為k，則PA：y-4=k（x-2），k≠0

y2=8x y-4=k(x-2)

⇒y2-

8

k

y-16+

32

k

=0，方程的解為4、y₁，
由韋達定理得：y₁+4=

8

k

，即y₁=

8

k

-4，同理y₂=-

8

k

-4，
k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

8

y1+y2

=-1，
設AB：y=-x+b，

y2=8x y=-x+b

⇒y²+8y-8b=0，
由韋達定理得：y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8b，
|AB|=

1+1

|y₁-y₂|=8

b+2

，點P到直線AB的距離d=

|6-b|

2

，
S_△ABP=2

2

×

(b+2)(6-b)2

，設b+2=t
則（b+2）（b²-12b+36）=t³-32t-64-（3t-8）（t-8），
∵△=64+32b＞0⇒b＞-2，y₁•y₂=-8b≥0⇒b≤0，∴-2＜b≤0，
設t=b+2∈（0，2]，
則（b+2）（b²-12b+36）=t³-16t²+64t=f（t），
f^′（t）=3t²-32t-64=（3t-8）（t-8），
由t∈（0，2]知f^′（t）＞0，∴f（t）在（0，2]上為增函數，
∴f（t）_最大=f（2）=72，
∴△PAB的面積的最大值為2

2

×

72

=24，
此時b=0，直線AB的方程為x+y=0．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系及拋物線的標準方程．