Question

（2013•資陽二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過（1，1）與（

6

2

，

3

2

）兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點，橢圓C上一點M滿足|MA|=|MB|．求證：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

為定值．

Answer 1

分析：（I）把（1，1）與（

6

2

，

3

2

）兩點代入橢圓方程解出即可．
（II）由|MA|=|MB|，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對稱性知A、B關于原點對稱．
①若點A、B是橢圓的短軸頂點，則點M是橢圓的一個長軸頂點；同理，若點A、B是橢圓的長軸頂點，則點M在橢圓的一個短軸頂點；直接代入計算即可．
②若點A、B、M不是橢圓的頂點，設直線l的方程為y=kx（k≠0），則直線OM的方程為y=-

1

k

x，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓的方程聯立解出坐標，即可得到|OA|2=|OB|2=

x

2 1

+

y

2 1

=

3(1+k2)

1+2k2

，同理|OM|2=

3(1+k2)

2+k2

，代入要求的式子即可．

解答：解析（Ⅰ）將（1，1）與（

6

2

，

3

2

）兩點代入橢圓C的方程，
得

1 a2 + 1 b2 =1 3 2a2 + 3 4b2 =1

解得

a2=3 b2= 3 2

．
∴橢圓PM₂的方程為

x2

3

+

2y2

3

=1．
（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對稱性知A、B關于原點對稱．
①若點A、B是橢圓的短軸頂點，則點M是橢圓的一個長軸頂點，此時

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

=

1

b2

+

1

b2

+

2

a2

=2(

1

a2

+

1

b2

)=2．
同理，若點A、B是橢圓的長軸頂點，則點M在橢圓的一個短軸頂點，此時

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

=

1

a2

+

1

a2

+

2

b2

=2(

1

a2

+

1

b2

)=2．
②若點A、B、M不是橢圓的頂點，設直線l的方程為y=kx（k≠0），
則直線OM的方程為y=-

1

k

x，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx x2 3 + 2y2 3 =1

解得

x

2 1

=

3

1+2k2

，

y

2 1

=

3k2

1+2k2

，
∴|OA|2=|OB|2=

x

2 1

+

y

2 1

=

3(1+k2)

1+2k2

，同理|OM|2=

3(1+k2)

2+k2

，
所以

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

=2×

1+2k2

3(1+k2)

+

2(2+k2)

3(1+k2)

=2，
故

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

=2為定值．

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想等