Question

【題目】已知數列滿足條件，且

（1）計算，請猜測數列的通項公式，并用數學歸納法證明；

（2）請分別構造一個二階和三階行列式，使它們的值均為，其中，要求所構造的三階行列式主對角線下方的元素均為零，并用按某行或者某列展開的方法驗證三階行列式的值為

Answer 1

【答案】（1），；證明見解析　　（2），，驗證見解析

【解析】

（1）分別將代回即可求得,可猜測,根據數學歸納法證明即可；

（2）由（1）可構造二階行列式為,根據要求可構造三階行列式為,并展開求值進行驗證即可

（1）當時,,即；

當時,；

當時,,則；

猜測,

證明：當時,成立；

假設當時,成立,

則,

所以,

即當時,等式也成立,

綜上,成立

（2）由（1）,因為,

則可構造二階行列式為；

因為要求所構造的三階行列式主對角線下方的元素均為零,可構造三階行列式為,檢驗,,故該三階行列式符合題意