Question

在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線上分別取點A、B，使得|

OA

|•|

OB

|=c²，則線段AB中點P的軌跡方程為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意可得雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為y=±

b

a

x，從而設A（m，

b

a

m），B（n，-

b

a

n）；從而可得

m2+ b2m2 a2

•

n2+ b2n2 a2

=c²，化簡可得|mn|=a²，令

m+n

2

=x，

b

a

（

m-n

2

）=y，從而解得m=x+

a

b

y，n=（x-

a

b

y），從而解得

x2

a2

-

y2

b2

=1或

x2

a2

-

y2

b2

=-1．

解答： 解：∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為y=±

b

a

x，
∴設A（m，

b

a

m），B（n，-

b

a

n）；
∴P（

m+n

2

，

b

a

（

m-n

2

））；
則由|

OA

|•|

OB

|=c²可得，

m2+ b2m2 a2

•

n2+ b2n2 a2

=c²，
即

c2

a2

|mn|=c²，
則|mn|=a²，
令

m+n

2

=x，

b

a

（

m-n

2

）=y，
則m=x+

a

b

y，n=（x-

a

b

y），
則上式可化為
|（x+

a

b

y）（x-

a

b

y）|=a²，
故

x2

a2

-

y2

b2

=1或

x2

a2

-

y2

b2

=-1．

點評：本題考查了雙曲線的應用，同時考查了軌跡方程的求法，屬于難題．