Question

已知函數(shù)f(x)=

3

asinωx•cosωx-cos2ωx+

3

2

(ω∈R+，a∈R)的最小正周期為π，其圖象關(guān)于直線x=

π

6

對稱．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程1-f（x）=m在[0，

π

2

]上只有一個實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)兩角和與差的公式和二倍角公式進行化簡，再由最小正周期求出ω的值，最后根據(jù)圖象關(guān)于直線x=

π

6

對稱確定函數(shù)f（x）的解析式．
（2）由題意可得 sin（2x+

π

6

）=m在[0，

π

2

]上只有一個實數(shù)解，再由 0≤x≤

π

2

可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，得到-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，由此得到實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=a•

3

sinωx•cosωx-cos2ωx+

3

2

=

3

2

a•sin2ωx-

1+cos2ωx

2

+

3

2

=

3

2

a•sin2ωx-

1

2

cos2ωx+1，
∵函數(shù)f（x）的最小正周期為π，∴

2π

2ω

=π，ω=1．
∴f（x）=

3

2

a•sin2x-

1

2

cos2x+1．
再由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對稱可得 f（0）=f（

π

3

），即

1

2

=

3

2

a•

3

2

-

1

2

•（-

1

2

）+1，解得 a=-1．
故函數(shù)f（x）=-

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+1=1-sin（2x+

π

6

），故本題即求sin（2x+

π

6

）在[0，

π

2

]上的減區(qū)間．
令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈z．
再由x∈[0，

π

2

]可得函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[

π

6

，

π

2

]．
（2）關(guān)于x的方程1-f（x）=m在[0，

π

2

]上只有一個實數(shù)解，即 sin（2x+

π

6

）=m在[0，

π

2

]上只有一個實數(shù)解．
再由 0≤x≤

π

2

可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
集合圖象可得 m=1，或-

1

2

≤m＜

1

2

．

點評：本題主要考查兩角和與差的正弦公式和二倍角公式的應(yīng)用和最小正周期的求法．考查三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的簡單應(yīng)用和靈活能力，屬于中檔題．