Question

設函數f（x）是定義在R上周期為2的函數，且對任意的實數x，恒有f（x）-f（-x）=0，當x∈[-1，0]，f（x）=x²e^-（x+1）．若g（x）=f（x）-log_ax在x∈（0，+∞）有且僅有三個零點，則a的取值范圍為（　　）

• A、[3，5]
• B、[4，6]
• C、（3，5）
• D、（4，6）

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：由題意可判斷出函數f（x）是周期為2的偶函數，從而作出函數的圖象，結合圖象求a的取值范圍．

解答： 解：∵對任意的實數x，恒有f（x）-f（-x）=0，
∴函數f（x）是周期為2的偶函數，
又∵當x∈[-1，0]，f（x）=x²e^-（x+1），
而g（x）=f（x）-log_ax在x∈（0，+∞）有且僅有三個零點
可化為函數f（x）與y=log_ax在x∈（0，+∞）上有三個不同的交點，
故作函數f（x）與y=log_ax在（0，+∞）上的圖象可得，

由圖象可得，log_a3＜1，log_a5＞1；
故3＜a＜5；
故選C．

點評：本題考查了函數的圖象的作法與應用，屬于基礎題．