Question

【題目】如圖所示，正四棱椎P-ABCD中，底面ABCD的邊長為2，側棱長為.

（I）若點E為PD上的點，且PB∥平面EAC.試確定E點的位置；

（Ⅱ）在（I）的條件下，點F為線段PA上的一點且，若平面AEC和平面BDF所成的銳二面角的余弦值為，求實數的值.

Answer 1

【答案】（I）E為PD中點，（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）設BD交AC于點O，連結OE推導出PB∥OE，由O為BD的中點，推導出在△BDP中，E為PD中點．

（Ⅱ）連結OP，以O為原點，OC、OD、OP所成直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出λ．

（Ⅰ）設BD交AC于點O，連結OE，

∵PB∥平面AEC，平面AEC∩平面BDP＝OE，

∴PB∥OE，

又O為BD的中點，

∴在△BDP中，E為PD中點．

（Ⅱ）連結OP，由題意得PO⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

∴以O為原點，OC、OD、OP所成直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

OP，

∴A（，0，0），B（0，，0），C（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），

則E（0，，），（，0，0），（，，），（0，，0），

設平面AEC的法向量（x，y，z），

則，令z＝1，得平面AEC的一個法向量（0，，1），

設平面BDF的法向量（x，y，z），

由，得F（，0，），（，，），

∴，令z＝1，得（，0，1），

∵平面AEC和平面BDF所成的銳二面角的余弦值為，

∴cos，

解得λ．