Question

對于實數a和b，定義運算“*”：，設f（x）=（2x-1）*（x-1），且關于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根x₁，x₂，x₃，則實數m的取值范圍是    ；x₁+x₂+x₃的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知新定義，我們可以求出函數的解析式，進而分析出函數的兩個極值點，進而求出x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根時，實數m的取值范圍，及三個實根之間的關系，進而求出x₁+x₂+x₃的取值范圍
解答：解：∵，
∴f（x）=（2x-1）*（x-1）=，
則當x=0時，函數取得極小值0，當x=時，函數取得極大值
故關于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根x₁，x₂，x₃時，
實數m的取值范圍是
令f（x）=，則x=，或x=
不妨令x₁＜x₂＜x₃時
則＜x₁＜0，x₂+x₃=1
∴x₁+x₂+x₃的取值范圍是
故答案為：，
點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，其中根據已知新定義，求出函數的解析式，并分析出函數圖象形狀及性質是解答的關鍵．