Question

【題目】已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，且點到焦點的距離為.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）設直線在軸上的截距為，且與拋物線交于，兩點，連接并延長交拋物線的準線于點，當直線恰與拋物線相切時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）首先利用焦半徑公式得到，再寫出拋物線方程即可.

（2）首先設直線，，，聯立直線與拋物線得到，利用導數求出在點處的切線方程，從而得到，再根據三點共線得到，從而得到直線的方程.

（1）由題知，，所以，解得，

故拋物線的標準方程為.

（2）由題知，直線的斜率存在，不妨設直線，，.

由，消y得，即.

，，，

拋物線在點處的切線方程為.

令，得，

所以，

而三點共線，所以及，得，

即，

整理得，

即：，解得，

即，

故所求直線的方程為或.