在數列
中，已知
，
，
(
，
)．
（1）當
，
時，分別求
的值，判斷
是否為定值，并給出證明；
（2）求出所有的正整數
，使得
為完全平方數．
（1）
(
)．（2）當
時，滿足條件.
解析試題分析：（1）第一步是歸納，分別進行計算. 由已知得
，
．所以
時，
；當時，．第二步猜想，()．第三步證明，本題可用數學歸納法證，也可證等式
恒成立，（2）探求整數解問題，一般要構造一個可說明的整式. 設
，則
，又
，且501=1
501=3167，故
或
所以
或
由
解得；由
得
無整數解．所以當時，滿足條件．
試題解析：（1）由已知得，．
所以時，；當時，． 2分
猜想：()． 3分
下面用數學歸納法證明：
①當時，結論成立．
②假設當
時，結論成立，即
，
將
代入上式，可得
．
則當
時，
．
故當結論成立，
根據①,②可得，(
)成立． 5分
（2）將
代入，得
，
則
，
，
設，則，
即
， 7分
又，且501=1501=3167，
故 或
所以 或
由解得；由得無整數解．
所以當
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，試證明
至少有一個不小于1.
，整數
，
.
且
時，
；
滿足
，
，證明：
.
，求證：
；
，且
，
．
，
，
．
時，試比較
與
的大小關系；
}滿足：a1=2，對一切正整數n，都有
.
且
，證明：
．
，由不等式
啟發我們可以得到推廣結論：
，則