Question

已知曲線C上任意一點P到兩定點F₁(-1,0)與F₂(1,0)的距離之和為4．
（1）求曲線C的方程；
（2）設曲線C與x軸負半軸交點為A，過點M(-4,0)作斜率為k的直線l交曲線C于B、C兩點（B在M、C之間），N為BC中點．
(ⅰ)證明：k·k_ON為定值；
(ⅱ)是否存在實數k，使得F₁N⊥AC？如果存在，求直線l的方程，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）;（2）(ⅰ）;(ⅱ）不存在．

試題分析：（1）由于曲線C上任意一點P到兩定點F₁(-1,0)與F₂(1,0)的距離之和為4，結合橢圓的定義可知曲線Ｃ是以兩定點F₁(-1,0)和F₂(1,0)為焦點，長軸長為４的橢圓，從而可寫出曲線C的方程；
（2）由已知可設出過點直線l的方程，并設出直線l與曲線C所有交點的坐標；然后聯立直線方程與曲線C的方程，消去y就可獲得一個關于x的一元二次方程，應用韋達定理就可寫出兩交點模坐標的和與積；(ⅰ)應用上述結果就可以用k的代數式表示出弦的中點坐標，這樣就可求出ON的斜率，再乘以k就可證明k·k_ON為定值；(ⅱ）由F₁N⊥AC，得k_AC•k_FN= -1，結合前邊結果就可將此等式轉化為關于k的一個方程，解此方程，若無解，則對應直線不存在，若有解，則存在且對應直線方程很易寫出來.
試題解析：（1）由已知可得：曲線Ｃ是以兩定點F₁(-1,0)和F₂(1,0)為焦點，長軸長為４的橢圓，所以，故曲線C的方程為：.     4分
（2）設過點M的直線l的方程為y=k(x+4)，設B(x₁, y₁)，C(x₂, y₂）(x₂>y₂)．
(ⅰ)聯立方程組，得，
則，            5分
故，，      7分
所以，所以k•k_ON=為定值.      8分
(ⅱ)若F₁N⊥AC，則k_AC•k_FN= -1，
因為F₁ (-1,0)，故，   10分
代入y₂=k(x₂+4)得x₂=-2-8k²，y₂="2k" -8k³，而x₂≥-2，故只能k=0，顯然不成立，所以這樣的直線不存在．                13分