Question

已知坐標平面上點M（x，y）與兩個定點M₁（26，1），M₂（2，1）的距離之比等于5．
（1）求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；
（2）記（1）中的軌跡為C，過點A（-2，3）的直線l被C所截得的線段的長為8，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）直接利用距離的比，列出方程即可求點M的軌跡方程，然后說明軌跡是什么圖形；
（2）設出直線方程，利用圓心到直線的距離，半徑與半弦長滿足的勾股定理，求出直線l的方程．

解答：解：（1）由題意坐標平面上點M（x，y）與兩個定點M₁（26，1），M₂（2，1）的距離之比等于5，
得

|M1M|

|M2M|

=5.

(x-26)2+(y-1)2

(x-2)2+(y-1)2

=5，化簡得x²+y²-2x-2y-23=0．
即（x-1）²+（y-1）²=25．
∴點M的軌跡方程是（x-1）²+（y-1）²=25，
所求軌跡是以（1，1）為圓心，以5為半徑的圓．
（2）當直線l的斜率不存在時，過點A（-2，3）的直線l：x=-2，
此時過點A（-2，3）的直線l被圓所截得的線段的長為：2

52-32

=8，
∴l：x=-2符合題意．
當直線l的斜率存在時，設過點A（-2，3）的直線l的方程為y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，
圓心到l的距離d=

|3k+2|

k2+1

，
由題意，得(

|3k+2|

k2+1

)2+4²=5²，解得k=

5

12

．∴直線l的方程為

5

12

x-y+

23

6

=0．即5x-12y+46=0．
綜上，直線l的方程為x=-2，或5x-12y+46=0．

點評：本題考查曲線軌跡方程的求法，直線與圓的位置關系的應用，考查計算能力．