Question

【題目】如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分別是PC，PB的中點，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l．
（Ⅰ）求證：直線l⊥平面PAC；
（Ⅱ）直線l上是否存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵E，F分別是PB，PC的中點，∴BC∥EF， 又EF平面EFA，BC不包含于平面EFA，
∴BC∥面EFA，
又BC面ABC，面EFA∩面ABC=l，
∴BC∥l，
又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，
面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，
∴l⊥面PAC．
（Ⅱ）解：以C為坐標原點，CA為x軸，CB為y軸，
過C垂直于面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，

A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0， ），
E（ ），F（ ），
， ，
設Q（2，y，0），面AEF的法向量為 ，
則 ，
取z= ，得 ， ，
|cos＜ ＞|= = ，
|cos＜ ＞|= = ，
依題意，得|cos＜ ＞|=|cos＜ ＞|，
∴y=±1．
∴直線l上存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余，|AQ|=1．
【解析】（Ⅰ）利用三角形中位線定理推導出BC∥面EFA，從而得到BC∥l，再由已知條件推導出BC⊥面PAC，由此證明l⊥面PAC．（2）以C為坐標原點，CA為x軸，CB為y軸，過C垂直于面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求出直線l上存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余，|AQ|=1．