Question

（本題滿分 13分）
集合為集合的個不同的子集，對于任意不大于的正整數滿足下列條件：
①，且每一個至少含有三個元素；
②的充要條件是（其中）。
為了表示這些子集，作行列的數表（即數表），規定第行第列數為：。
（1）該表中每一列至少有多少個1；若集合，請完成下面數表（填符合題意的一種即可）；

（2）用含的代數式表示數表中1的個數，并證明；
（3）設數列前項和為，數列的通項公式為：，證明不等式：對任何正整數都成立。

Answer 1

（1）見解析。
（2），證明見解析。
（3）證明見解析。

（1）根據條件①每個中至少含有三個元素，作出的數表每一列至少有三個1。
數表如下：

	1	2	3	4	5	6	7
1	0	0	0	0	1	1	1
2	1	0	0	1	0	0	1
3	1	1	0	0	0	1	0
4	1	0	1	0	1	0	0
5	0	1	1	0	0	0	1
6	0	1	0	1	1	0	0
7	0	0	1	1	0	1	0

 
（2）題設條件①中的表明的一條對角線上數字都是0，題設條件②表明除對角線以外，與恰好一個為1，而另一個為0，即數表中除該對角線以外，0與1各占一半，故數表中共有個1。另一方面，根據題設條件①每一個至少含有三個元素得：作出的數表的每一列至少有3個1，所以整個數表（共有列）至少有個1，因此列出不等式：，解得。
（3）
檢驗也成立，故
證法一：要證：，只要證：
，
故只要證：，
即只要證：， 又

所以命題得證。
證法二：同上       又

所以 
即，故