Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣3x．
（Ⅰ）求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=k有3個實根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）∵f（x）=x3﹣3x，∴f′（x）=3（x﹣1）（x+1），

令f′（x）=0，解得x=﹣1或x=1，列表如下：

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

當x=﹣1時，有極大值f（﹣1）=2；

當x=1時，有極小值f（1）=﹣2．

（II）要f（x）=k有3個實根，

由（I）知：f（1）＜k＜f（﹣1），

即﹣2＜k＜2，

∴k的取值范圍是（﹣2，2）

【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（Ⅱ）問題轉化為y=f（x）和y=k有3個交點，根據f（x）的極大值和極小值求出k的范圍即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．