Question

【題目】某縣政府為了引導居民合理用水，決定全面實施階梯水價，階梯水價原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準定價：若用水量不超過12噸時，按4元/噸計算水費；若用水量超過12噸且不超過14噸時，超過12噸部分按6.60元/噸計算水費；若用水量超過14噸時，超過14噸部分按7.80元/噸計算水費．為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100戶居民的月用水量（單位：噸），將數據按照，，…，分成8組，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖．

（圖1） （圖2）

（Ⅰ）通過頻率分布直方圖，估計該市居民每月的用水量的平均數和中位數（精確到0.01）；

（Ⅱ）求用戶用水費用（元）關于月用水量（噸）的函數關系式；

（Ⅲ）如圖2是該縣居民李某2017年1～6月份的月用水費（元）與月份的散點圖，其擬合的線性回歸方程是．若李某2017年1～7月份水費總支出為294.6元，試估計李某7月份的用水噸數．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)平均數為7.96，中位數為8.15；(Ⅱ)；(Ⅲ)13噸.

【解析】試題分析：

本題考查頻率分布直方圖的應用及線性回歸方程的應用。（Ⅰ）根據用頻率分布直方圖估計平均數、中位數的方法計算即可。（Ⅱ）結合題意可用分段函數表示出與的關系。（Ⅲ）先由樣本中點過回歸直線的結論求得1～6月份月用水費約為 7月份的水費為元，再根據回歸方程求得7月份的用水噸數。

試題解析：

（Ⅰ）由頻率分布直方圖可得該市居民每月的用水量的平均數為

。

設中位數為，

則，

解得。

（Ⅱ）設居民月用水量為噸，相應的水費為元，則由題意得

即

（Ⅲ）設李某2017年1～6月份月用水費（元）與月份的對應點為，它們的平均值分別為，，

則，

又點在直線上，

所以，

因此，

所以7月份的水費為元．

由（2）知，當時，，

所以李某7月份的用水噸數約為13噸.