Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓過點，焦點，圓的直徑為．

（1）求橢圓及圓的方程；

（2）設直線與圓相切于第一象限內的點，直線與橢圓交于兩點．若的面積為，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）由橢圓焦點可以確定，再利用點代入橢圓方程即可求出，從而得到橢圓方程；由圓O的直徑為，即可知圓心坐標為，半徑為，從而得到圓的方程.

（2）設切點坐標為，即可表示出直線的方程，聯立直線的方程與橢圓方程，消去得到關于的一元二次方程，利用求根公式求出，然后利用弦長公式表示，而由條件可求出，結合，即可求出,從而求出直線的方程.

(1)因為橢圓C的焦點為，

可設橢圓C的方程為．

又點在橢圓C上，所以，解得

因此，橢圓C的方程為．

因為圓O的直徑為，所以其方程為．

（2）設直線與圓O相切于，

則，所以直線的方程為，

即．由消去y，得

①

因為三角形OAB的面積為，所以，從而，

設，由①得，

所以．因為，

所以，即，解得舍去），

則，因此P的坐標為．

故直線l的方程為:．