Question

某水庫(kù)進(jìn)入汛期的水位升高量h_n (標(biāo)高)與進(jìn)入汛期的天數(shù)n的關(guān)系是h_n＝20，汛期共計(jì)約40天，當(dāng)前水庫(kù)水位為220(標(biāo)高)，而水庫(kù)警戒水位是400(標(biāo)高)，水庫(kù)共有水閘15個(gè)，每開(kāi)啟一個(gè)泄洪，一天可使水位下降4(標(biāo)高)．
（I）若不開(kāi)啟水閘泄洪，這個(gè)汛期水庫(kù)是否有危險(xiǎn)？若有危險(xiǎn)，將發(fā)生在第幾天？
（II）若要保證水庫(kù)安全，則在進(jìn)入汛期的第一天起每天至少應(yīng)開(kāi)啟多少個(gè)水閘泄洪？
(參考數(shù)據(jù)：2.27²＝5.1529，2.31²＝5.3361)

Answer 1

（I）在第4天會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)．
（II）每天開(kāi)啟11個(gè)水閘泄洪，才能保證水庫(kù)安全．

（I）進(jìn)入汛期的水庫(kù)水位標(biāo)高f(n)＝20＋220．
令20＋220>400，整理得5n²＋6n>81，代值驗(yàn)證得n≥4，所以，在第4天會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)．
II）設(shè)每天開(kāi)啟p個(gè)水閘泄洪，則f(n)＝20＋220－4np，
令20＋220－4np≤400，
即p≥＝5()＝5()．
下面證明函數(shù)g(n)＝為增函數(shù)．
事實(shí)上，令g(x)＝(x≥1)，
g′(x)＝()′＝＝．
當(dāng)x≥1時(shí)，g′(x)>0，∴g(x)在x≥1時(shí)為增函數(shù)，
所以　g(n)＝為增函數(shù)．  
于是　　g(n)_max＝g(40)＝p≥5×2.04＝10.20．
故知每天開(kāi)啟11個(gè)水閘泄洪，才能保證水庫(kù)安全．