Question

過點O（0，0）的圓C與直線y=2x-8相切于點P（4，0）．
（1）求圓C的方程；
（2）已知點B的坐標為（0，2），設P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動點，求|PB|+|PQ|的最小值．
（3）在圓C上是否存在兩點M，N關于直線y=kx-1對稱，且以MN為直徑的圓經過原點？若存在，寫出直線MN的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知得圓心在直線y=-

1

2

x+2上，又在線段OP的中垂線x=2上，由此求得圓心C（2，1），半徑為

5

，從而求得圓C的方程．
（2）求得點B（0，2）關于直線l：x+y+2=0的對稱點G（-4，-2），再根據|PB|+|PQ|=|PG|+PQ|≥|QG|≥|GC|-

5

，求得|PB|+|PQ|的最小值．
（3）假設存在兩點M，N關于直線y=kx-1對稱，則y=kx-1通過圓心C（2，1），求得k的值，設直線MN為y=-x+b，代入圓的方程，利用根與系數的關系以及

OM

•

ON

=0，求得b的值，可得結論．

解答：解：（1）由已知得圓心經過點P（4，0），且與y=2x-8垂直的直線y=-

1

2

x+2上，
它又在線段OP的中垂線x=2上，所以求得圓心C（2，1），半徑為

5

，
所以圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）求得點B（0，2）關于直線l：x+y+2=0的對稱點G（-4，-2），
所以|PB|+|PQ|=|PG|+PQ|≥|QG|≥|GC|-

5

=2

5

，
所以|PB|+|PQ|的最小值是2

5

．
（3）假設存在兩點M，N關于直線y=kx-1對稱，則y=kx-1通過圓心C（2，1），求得k=1，
所以設直線MN為y=-x+b，代入圓的方程得2x²-（2b+2）x+b²-2b=0，
設M（x₁，-x₁+b），N（x₂，-x₂+b），則 x₁+x₂=b+1，x₁•x₂=-b．
又

OM

•

ON

=2 x₁•x₂-b（x₁+x₂）=b²-3b=0，
解得b=0或b=3，這時△＞0，符合條件，
所以，存在直線MN為y=-x或y=-x+3符合條件．…

點評：本題主要考查求圓的方程、直線和圓相交的性質，兩個向量的數量積公式的應用，屬于中檔題．