Question

如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為a的正方體，E、F分別是棱AA₁和CC₁的中點，G是A₁C₁的中點，求：
（1）點G到平面BFD₁E的距離；
（2）四棱錐A₁-BFD₁E的體積．

Answer 1

分析：（1）先根據條件得到四邊形BFD₁E是棱形，設H是EF中點，再結合條件得到EF⊥面GHD₁，⇒平面BFD₁E⊥平面GHD₁，然后作GK⊥HD₁，在RT△GHD₁中求出GK的長即可得到結論；
（2）先根據A₁C₁∥EF⇒A₁C₁∥平面BFD₁E，進而得到G到平面BFD₁E的距離就是四棱錐A₁-BFD₁E的高，再代入體積計算公式即可得到答案．

解答：解：（1）由題得：BE=BF=FD1=ED1=

5

2

a，
∴四邊形BFD₁E是棱形，連接EF和BD₁，
有A₁C₁∥EF，設H是EF中點，
連GH、GD₁，則EF⊥GH，EF⊥HD₁，
∴EF⊥面GHD₁，又EF?面BFD₁E中，
∴平面BFD₁E⊥平面GHD₁，
作GK⊥HD₁，則GK⊥面BFD₁E，
則G到平面的距離就是KG長．在RT△GHD₁中，

1

2

GH•GD₁=

1

2

GK•HD₁．
又GH=

1

2

a，GD1=

2

2

a，HD1=

3

2

a，
∴GK=

6

6

a．
（2）∵A₁C₁∥EF，∴A₁C₁∥平面BFD₁E，
∴G到平面BFD₁E的距離就是四棱錐A₁-BFD₁E的高，
∴VA1-BFD1E=

1

3

S菱形BFD1E•GK=

1

3

•

1

2

EF•BD1•GK=

1

3

•

2

2

a•

3

a•

6

6

a=

1

6

a3

點評：本題主要考查點到面的距離以及棱錐的體積計算，考查計算能力．本題的難點在于點G到平面BFD₁E的距離對應的垂線段不好找．