Question

根據如圖所示的流程圖，將輸出的a的值依次分別記為a₁，a₂，…，a_n，…，a₂₀₀₈，將輸出的b的值依次分別記為b₁，b₂，…，b_n，…，b₂₀₀₈．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}通項公式；
（Ⅱ）依次在a_k與a_k+1中插入b_k+1個3，就能得到一個新數列{c_n}，則a₄是數列{c_n}中的第幾項？
（Ⅲ）設數列{c_n}的前n項和為S_n，問是否存在這樣的正整數m，使數列{c_n}的前m項的和S_m=2008，如果存在，求出m的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中的程序流程圖，可得a₁=1，a_n+1=a_n+1，根據等差數列的定義，可得數列{a_n}是公差為1，首項為1的等差數列，進而可得出數列{a_n}的通項公式，進而根據b₁=0，b_n+1=3b_n+2，得到{b_n+1}是首項為1，公比為3的等比數列，先求出數列{b_n+1}的通項公式，進而得到數列{b_n}的通項公式．
（II）由已知中數列{c_n}的構造法則，我們由a₄=4，我們列舉出數列{c_n}中4之間的所有項，即可得到結論；
（III）由（II）中數列{c_n}的構造法則，及（I）中結論，我們可得a_k項（含a_k）前的所有項的和是：(1+2+…k)+(31+32+…+3k)=

k(k+1)

2

+

3k-3

2

，易分析出k=7時，S_m＜2008，k=8時，S_m＞2008，結合2008-1120為3的倍數，故存在m的值滿足條件，進而可得到結果．

解答：解：（Ⅰ）由流程圖，a₁=1，a_n+1=a_n+1，
∴{a_n}是公差為1的等差數列．∴a_n=n．（2分）
由流程圖，b₁=0，b_n+1=3b_n+2，
∴b_n+1+1=3（b_n+1）．
∴{b_n+1}是首項為1，公比為3的等比數列．
∴b_n+1=（b₁+1）×3^n-1=3^n-1，∴b_n=3^n-1-1．（6分）
（Ⅱ）{c_n}的前幾項為1， 

3

1個3

， 2， 

3， 3， 3，

3個3

 3， 

3， …， 3

9個3

， 4， …，a₄=4，∴a₄是數列{c_n}中的第17項．（9分）
（Ⅲ）數列{c_n}中，a_k項（含a_k）前的所有項的和是：(1+2+…k)+(31+32+…+3k)=

k(k+1)

2

+

3k-3

2

，（11分）
當k=7時，其和為28+

37-3

2

=1120＜2008，
當k=8時，其和為36+

38-3

2

=3315＞2008．（13分）
又因為2008-1120=888=296×3，是3的倍數，
故當m=7+（1+3+3²+…3⁵）+296=667時，S_m=2008．（16分）

點評：本題考查的知識點是程序框圖，等差數列的通項公式，等比數列的通項公式，數列求和，是數列問題比較綜合的考查，難度比較大，其中根據已知中的程序框圖，分析出數列{a_n}，{b_n}各項之間的關系，進而求出{a_n}，{b_n}的通項公式，是解答本題的關鍵．