Question

【題目】設點M到坐標原點的距離和它到直線l：x=﹣m（m＞0）的距離之比是一個常數 ．
（Ⅰ）求點M的軌跡；
（Ⅱ）若m=1時得到的曲線是C，將曲線C向左平移一個單位長度后得到曲線E，過點P（﹣2，0）的直線l1與曲線E交于不同的兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），過F（1，0）的直線AF、BF分別交曲線E于點D、Q，設 =α ， =β ，α、β∈R，求α+β的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）過M作MH⊥l，H為垂足，
設M的坐標為（x，y），則丨OM丨= ，丨MH丨=丨x+m丨，
由丨OM丨= 丨MH丨，則 = 丨x+m丨，整理得： x2+y2﹣mx﹣ m2=0，
∴ ，
顯然點M的軌跡為焦點在x軸上的橢圓；
（Ⅱ）當m=1時，則曲線C的方程是： ，
故曲線E的方程是 ，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），D（x3 ， y3），
=（1﹣x1 ， ﹣y1）， =（x3﹣1，y3）， =α ，則﹣y1=αy3 ，
則α= ，
當AD與x軸不垂直時，直線AD的方程為y= （x﹣1），即x= ，代入曲線E方程，
，整理得：（3﹣2x1）y2+2y1（x1﹣1）y﹣y12=0，y1y3=﹣ ，﹣ =3﹣2x1 ， 則α=3﹣2x，
當AD與x軸垂直時，A點的橫坐標x1=1，α=1，
顯然α=3﹣2x1也成立，
同理可得：β=3﹣2x2 ，
設直線l1的方程為y=k（x+2），代入 ，整理得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，
由k≠0，則△=（8k2）2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，
解得：0＜k2＜ ，
由x1+x2=﹣ ，
則α+β=3﹣2x1+3﹣2x1=6﹣2（x1+x2）=14﹣ ，
∵α+β∈（6，10），
∴α+β的取值范圍（6，10）
【解析】（Ⅰ）利用兩點之間的距離公式，求得 = 丨x+m丨，整理即可求得點M的軌跡；（Ⅱ）當m=1時，求得E的方程，根據向量的坐標運算，求得α=3﹣2x，β=3﹣2x2 ， 設直線l1的方程為y=k（x+2）代入橢圓方程，由△＞0，求得k的取值范圍，則α+β=3﹣2x1+3﹣2x1=6﹣2（x1+x2），由韋達定理即可求得α+β的取值范圍．