Question

設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，離心率為，在軸負半軸上有一點，且
（1）若過三點的圓恰好與直線相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓C交于兩點，在軸上是否存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

1）由題意，得，所以 
又  由于，所以為的中點，
所以
所以的外接圓圓心為，半徑…………………3分
又過三點的圓與直線相切，
所以解得，
所求橢圓方程為 …………………………………………………… 6分
（2）有（1）知,設的方程為：
將直線方程與橢圓方程聯立
,整理得
設交點為，因為
則……………………………………8分
若存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，
由于菱形對角線垂直，所以
又 
又的方向向量是，故，則
，即
由已知條件知………………………11分
，故存在滿足題意的點且的取值范圍是 

解析