Question

設數列{a_n}（n=1，2，…）是等差數列，且公差為d，若數列{a_n}中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”．
（Ⅰ）若a₁=4，d=2，求證：該數列是“封閉數列”；
（Ⅱ）試判斷數列是否是“封閉數列”，為什么？
（Ⅲ）設S_n是數列{a_n}的前n項和，若公差d=1，a₁＞0，試問：是否存在這樣的“封閉數列”，使．若存在，求{a_n}的通項公式；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出數列的通項，利用定義驗證可得結論；
（II）利用定義，可得a_n=a₁+a₂=-8，即n=，從而可得結論；
（III）確定a₁=p-m-n+1為整數，分類討論，即可得出結論．
解答：（I）證明：∵a₁=4，d=2，
∴a_n=2n+2，
對任意的m，n∈N₊，有a_m+a_n=2（m+n+1）+2
于是，令p=m+n+1，則有a_p=2p+2∈{a_n}；
（II）解：∵a₁=-5，a₂=-3
∴a₁+a₂=-8，
令a_n=a₁+a₂=-8，∴n=，
∴數列不是封閉數列；
（III）解：由{a_n}是“封閉數列”，得：對任意m，n∈N₊，必存在p∈N₊，使a₁+（n-1）+a₁+（m-1）=a₁+（p-1）成立，于是有a₁=p-m-n+1為整數，
又∵a₁＞0
∴a₁是正整數．
若a₁=1則，所以，不符合題意
若a₁=2，則，所以，
而，
所以符合
若a₁=3，則，所以
綜上所述，a₁=2，a_n=n+1，顯然，該數列是“封閉數列”．
點評：本題考查新定義，考查數列的通項與求和，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．