Question

已知圓C：x²＋y²＋2x－4y＋3＝0．
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；
(2)從圓C外一點P(x₁，y₁)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的點P的坐標．

Answer 1

（1）y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
（2）

(1)將圓C配方得：(x＋1)²＋(y－2)²＝2．
①當直線在兩坐標軸上的截距為零時，設直線方程為y＝kx，由直線與圓相切得：y＝(2±)x．
②當直線在兩坐標軸上的截距不為零時，設直線方程為x＋y－a＝0，由直線與圓相切得：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．故切線方程為y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．
(2)由|PO|＝|PM|，得：
x₁²＋y₁²＝(x₁＋1)²＋(y₁－2)²－2⇒2x₁－4y₁＋3＝0．即點P在直線l：2x－4y＋3＝0上，當|PM|取最小值時即|OP|取得最小值，直線OP⊥l．
∴直線OP的方程為：2x＋y＝0．
解方程組
得P點坐標為．