Question

過點M(0，1)作直線，使它被兩已知直線l₁:x－3y+10=0和l₂:2x+y－8=0所截得的線段恰好被M所平分，求此直線方程.

Answer 1

直線方程為x+4y－4=0.

本題中最重要的已知條件是M為所截得線段的中點，用好這個條件是解題的關鍵.
解法一:過點M與x軸垂直的直線顯然不合要求，故設直線方程y=kx+1，若與兩已知直線分別交于A、B兩點，則解方程組可得
x_A=,x_B=.
由題意+=0,
∴k=－.故直線方程為x+4y－4=0.
解法二:設所求直線方程y=kx+1,
代入方程(x－3y+10)(2x+y－8)=0，
得(2－5k－3k²)x²+(28k+7)x－49=0.
由x_A+x_B=－=2x_M=0,解得k=－.
∴直線方程為x+4y－4=0.
解法三:∵點B在直線2x－y－8=0上，故可設B(t,8－2t)，由中點公式得A(－t,2t－6).
∵點A在直線x－3y+10=0上，
∴(－t)－3(2t－6)+10=0,得t=4.∴B(4,0).故直線方程為x+4y－4=0.