Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）過原點作函數的切線,求的方程;

（Ⅱ）若對于任意恒成立,試確定實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）設直線與函數相切于點,得切線方程，代入(0,0)即可得解；

（Ⅱ）“對于任意恒成立”,等價于“對于任意恒成立”,等價于“”, 設,求導討論函數單調性求最值即可.

試題解析：

（Ⅰ）設直線與函數相切于點,

因為,則,

則切線的方程為,

因為過原點,代入上式可得

,即,

所以切線的方程為.

（Ⅱ）“對于任意恒成立”,等價于“對于任意恒成立”,等價于“”,

設,

則,

①當時, 恒成立,滿足題意;

②當時, , 單調遞增,

由于,不合題意;

③當時,令得,

令得,

所以在單調遞減,在單調遞增,

,

則,

又,所以,

解得,

綜上所述, 的取值范圍為.