Question

【題目】如圖，某地村莊P與村莊O的距離為千米，從村莊O出發(fā)有兩條道路，經(jīng)測(cè)量，的夾角為，OP與的夾角滿足（其中），現(xiàn)要經(jīng)過(guò)P修一條直路分別與道路交匯于兩點(diǎn)，并在處設(shè)立公共設(shè)施．

（1）已知修建道路的單位造價(jià)分別為2m元/千米和m元/千米，若兩段道路的總造價(jià)相等，求此時(shí)點(diǎn)之間的距離；

（2）考慮環(huán)境因素，需要對(duì)段道路進(jìn)行翻修，段的翻修單價(jià)分別為n元/千米和元/千米，要使兩段道路的翻修總價(jià)最少，試確定點(diǎn)的位置．

Answer 1

【答案】（1）千米； （2）A位于距O點(diǎn)3千米處，B位于距O點(diǎn)3千米處．.

【解析】

（1）先建立坐標(biāo)系，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)條件求B點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得結(jié)果，（2）先設(shè)直線方程，解得A,B坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示翻修總價(jià)，最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值.

（1）以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)，由，得，所以．

由題意得，所以，所以B點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

又因?yàn)辄c(diǎn)B在直線上，所以，

所以．

答：之間的距離為千米．

（2）設(shè)總造價(jià)為S，則，

設(shè)，要使S最小，只要y最小．

當(dāng)軸時(shí)，，這時(shí)，

所以．

當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線方程為，

令，得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，所以，

令，得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，，

因?yàn)?/span>且，所以或，

此時(shí)，

，

當(dāng)時(shí)，y在上遞減，在上遞增，

所以，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，．

綜上所述，要使段道路的翻修總價(jià)最少，A位于距O點(diǎn)3千米處，B位于距O點(diǎn)千米處．

答：要使段道路的翻修總價(jià)最少，A位于距O點(diǎn)3千米處，B位于距O點(diǎn)3千米處．