Question

已知點P（-8，0）和圓C：x²+y²-2x+10y+4=0，
（1）求經過點P被圓C截得的線段最長的直線l的方程；
（2）過P點向圓C引割線，求被此圓截得的弦的中點的軌跡．

Answer 1

分析：（1）由題意可得經過點P被圓C截得的線段最長的直線l經過圓C的圓心，由兩點式可得方程；
（2）利用垂徑定理，可得勾股定理，從而可得方程，化簡即可得出結論．

解答：解：（1）化圓的方程為：（x-1）²+（y+5）²=22，圓心坐標：C（1，-5）．
由題意可得經過點P被圓C截得的線段最長的直線l經過圓C的圓心，
由兩點式方程得：

y-0

-5-0

=

x+8

1+8

，
化簡得：5x+9y+40=0，
∴直線l的方程是：5x+9y+40=0…（6分）
（2）設中點M（x，y），則
∵CM⊥PM，∴△PCM是Rt△，
∴有：|PM|²+|MC|²=|PC|²
即：（x+8）²+y²+（x-1）²+（y+5）²=106，
化簡得：x²+7x+y²+5y-8=0
故中點M的軌跡是圓x²+7x+y²+5y-8=0在圓C內部的一段弧   …（12分）

點評：本題考查直線方程，看V軌跡方程，考查垂徑定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．