Question

如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=

2

，點F在PD上，且PE：ED=2：1
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的正弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面EAC？若存在，試求出PF的值：若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：轉化思想,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）要證PA⊥平面ABCD，只需PA垂直于平面ABCD內的兩條相交直線，根據題目中給的線段長，將PA，AB，PB放在一個三角形PAB中，經計算可知PA⊥AB，同理可證PA⊥AD，第一問迎刃而解；
（2）據第（1）問結果，可以以A點為原點建立適當的坐標系，然后通過設點、求直線方向向量，平面法向量，最終將二面角轉化為法向量的夾角問題；
（3）先假設存在點F，然后利用“BF∥平面EAC”構造等量關系（如平面法向量與直線方向向量共線列方程），若方程有解，則存在，否則不存在．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵底面ABCD為菱形，∠ABC=60°
∴AB=AD=AC=1，
∵在△PAB中，PA=AB=1，PB=

2

，
∴PA²+AB²=PB²，
∴PA⊥AB
同理，在△PAD中，可證PA⊥AD，
∵AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以A為原點，過A點垂直于平面PAD的直線為x軸，直線AD、AP分別為y、z軸建立空間直角坐標系，
如圖，則A（0，0，0），B（

3

2

，-

1

2

，0），C（

3

2

，

1

2

，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（0，

2

3

，

1

3

），
則

AC

=(

3

2

，

1

2

，0)，

AE

=（0，

2

3

，

1

3

），
設平面EAC的法向量為

n

=（x，y，z），
由

n • AC =0 n • AE =0

得

3 2 x+ 1 2 y=0 2 3 y+ 1 3 z=0

，
令x=1，則y=-

3

，z=2

3

，故

n

=(1，-

3

，2

3

)，
易知，平面DAC的法向量為

m

=（0，0，1），
設二面角E-AC-D的大小為θ（θ為銳角），
由cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

| n • m |

| n || m |

，得
cosθ=

2 3

4×1

=

3

2

，故sinθ=

1

2

．

（Ⅲ）設點F是棱PC上的一點，
且

PF

=λ

PC

=(

3

2

λ，

1

2

λ，-λ)，其中0＜λ＜1，
又

BP

=(-

3

2

，

1

2

，1)，則

BF

=(

3

2

λ-

3

2

，

1

2

λ+

1

2

，-λ+1)，
由（Ⅱ）可知，平面EAC的法向量為

n

=（1，-

3

，2

3

），
要使BF∥面EAC，需滿足

BF

⊥

n

，則

BF

•

n

=0，
∴

3

2

λ-

3

2

-

3

2

λ-

3

2

-2

3

λ+2

3

=0，
解得λ=

1

2

，故F為棱PC的中點時，

BF

∥面EAC，
此時F（

3

4

，

1

4

，

1

2

），

PF

=（

3

4

，

1

4

，-

1

2

），
∴PF的值為|

PF

|=

3 16 + 1 16 + 1 4

=

2

2

．

點評：空間中的垂直與平行主要是線線、線面、面面間的平行與垂直關系的互相轉化，只要熟練掌握有關的定理、推論和相應的方法，就能解決問題，當然如果可以建立空間直角坐標系，也可以借助于直線的方向向量和平面的法向量進行證明；二面角一般轉化為兩平面的法向量的夾角，注意判斷二面角是鈍角還是銳角；探究性問題一般是先假設結論成立，然后將結論當成條件結合已知構造方程或不等式求解，若有解，則存在，否則不存在．