Question

已知 F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點，橢圓上存在一點P，使得S△F1PF2=

3

b2，則該橢圓的離心率的取值范圍是

[

3

2

，1）

．

Answer 1

分析：設P（x₀，y₀），由于橢圓上存在一點P，S△F1PF2=

3

b2．可得：

3

b2=

1

2

|F1F2| |y0|=c|y₀|，且|y₀|≤b．再利用a²=b²+c²及e=

c

a

＜1即可得出．

解答：解：設P（x₀，y₀），
∵橢圓上存在一點P，S△F1PF2=

3

b2，
∴

3

b2=

1

2

|F1F2| |y0|=c|y₀|，且|y₀|≤b．
∴|y0|=

3 b2

c

≤b，即

3

b≤c，
∴3b²≤c²．
又b²=a²-c²，
∴3（a²-c²）≤c²，化為

c2

a2

≥

3

4

，解得

c

a

≥

3

2

．
又e＜1，
∴該橢圓的離心率的取值范圍是[

3

2

，1)．
故答案為[

3

2

，1)．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、離心率計算公式，屬于基礎題．