Question

【題目】閱讀材料：根據兩角和與差的正弦公式，有： sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）=2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③
令α+β=A，α﹣β=β　有α= ，β= 代入③得　sinA+sinB=2sin cos ．
（1）利用上述結論，試求sin15°+sin75°的值；
（2）類比上述推證方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明：cosA﹣cosB=﹣2sin cos ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵sinA+sinB=2sin cos ，

∴sin15°+cos75°=2sin cos ，

=2sin45°cos（﹣30°）= ，

∴sin15°+cos75°=

（2）證明：因為cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣①

cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

①+②得cos（α+β）+cos（α﹣β）=2cosαcosβ，③

令α+β=A，α﹣β=B 有α= ，β= ，

代入③得：cosA﹣cosB=﹣2sin cos ．

∴cosA﹣cosB=﹣2sin cos

【解析】（1）令A=15°，B=75°，代和可得sin15°+sin75°的值；（2）由cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ兩式相加得：cos（α+β）+cos（α﹣β）=2cosαcosβ，令α+β=A，α﹣β=B 有α= ，β= ，可得結論；
【考點精析】掌握類比推理是解答本題的根本，需要知道根據兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性,推測其中一類事物具有與另外一類事物類似的性質的推理,叫做類比推理．