Question

【題目】已知f（x）=|xex|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若滿(mǎn)足g（x）=﹣1的x有四個(gè)，則t的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（e+ ,+∞）
【解析】解：f（x）= ，

當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=ex+xex=（1+x）ex＞0，

∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，

當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=﹣ex﹣xex=（﹣1﹣x）ex，

∴當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函數(shù)，在（﹣1，0）上是減函數(shù)．

當(dāng)x=﹣1時(shí)，f（x）取得極大值f（﹣1）= ．

令f（x）=λ，

又f（x）≥0，f（0）=0，

則當(dāng)λ＜0時(shí)，方程f（x）=λ無(wú)解；

當(dāng)λ=0或λ＞ 時(shí)，方程f（x）=λ有一解；

當(dāng)λ= 時(shí)，方程f（x）=λ有兩解；

當(dāng)0＜λ＜ 時(shí)，方程f（x）=λ有三解．

∵g（x）=f2（x）﹣tf（x）=﹣1有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

∴關(guān)于λ的方程λ2﹣tλ+1=0在（0， ）和（ ，+∞）上各有一解，

∴ ，解得t ．

所以答案是（e+ ，+∞）．