Question

已知函數.
（Ⅰ）若函數為偶函數，求的值；
（Ⅱ）若，求函數的單調遞增區間；
（Ⅲ）當時，若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2），；（3）.

試題分析：（1）據偶函數定義,得到,平方后可根據對應系數相等得到的值,也可將上式兩邊平方得恒成立,得的值；（2）當時，作出函數的圖像，即可得到函數的單調遞增區間；（3）先將不等式轉化為，然后利用零點分段法（三段：（））去掉絕對值,在每段上分別求解不等式的恒成立問題，可得出各段不等式恒成立時參數的取值范圍，注意在后一段時可考慮結合前一段的參數的取值范圍進行求解，避免不必要的分類，最后對三段求出的的取值范圍取交集可得參數的取值范圍.
試題解析：(1)解法一：任取，則恒成立
即恒成立          3分
∴恒成立，兩邊平方得：
∴                      5分
(1)解法二(特殊值法)：因為函數為偶函數，所以，得，得：      （酌情給分）
(2)若，則      8分
作出函數的圖像

由函數的圖像可知，函數的單調遞增區間為及      10分
(3)不等式化為
即：      (*)對任意的恒成立
因為，所以分如下情況討論：
①時，不等式(*)化為
即對任意的恒成立，
因為函數在區間上單調遞增，則只需即可，得，又
∴           12分
②時，不等式(*)化為，
即對任意的恒成立，
由①，，知：函數在區間上單調遞減，則只需即可，即，得或
因為所以，由①得           14分
③時，不等式(*)化為
即對任意的恒成立，
因為函數在區間上單調遞增，則只需即可，
即，得或，由②得
綜上所述得，的取值范圍是           16分.