Question

斜率為1的直線l與橢圓

x2

4

+y²=1相交于A，B兩點，則|AB|得最大值為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的應用

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出直線的方程，代入橢圓方程中消去y，根據判別式大于0求得t的范圍，進而利用弦長公式求得|AB|的表達式，利用t的范圍求得|AB|的最大值．

解答： 解：設直線l的方程為y=x+t，代入橢圓

x2

4

+y²=1消去y得

5

4

x²+2tx+t²-1=0，
由題意得△=（2t）²-5（t²-1）＞0，即t²＜5．
弦長|AB|=4

2

×

5-t2

5

≤

4 10

5

．當t=0時取最大值．
故答案為：

4 10

5

．

點評：本題主要考查了橢圓的應用，直線與橢圓的關系．常需要把直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理，判別式找到解決問題的突破口．