Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，且上焦點為，過的動直線與橢圓相交于、兩點．設點，記、的斜率分別為和．

（1）求橢圓的方程；

（2）如果直線的斜率等于，求的值；

（3）探索是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）2（3）為定值，且定值為2.

【解析】試題分析：（1）先根據離心率以及焦點坐標列方程組，解得（2）先設、，利用斜率公式化簡得，再聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理代入化簡得的值；（3）設直線： ，同（2）化簡得，再聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理代入化簡得定值，最后驗證斜率不存在情況也滿足

試題解析：解：（1）， ， ，

橢圓方程為.

（2）因為直線的斜率等于，且經過焦點F，

所以直線，

設、，

由消得，

則有， ．

所以.

（3）當直線的斜率不存在時， ， ，

則， ，故．

當直線的斜率存在時，設其為，

則直線： ，

設， ，

由消得，

則有， ．

所以

.

所以為定值，且定值為2.