Question

【題目】如圖（1）所示，五邊形中，，，分別是線段的中點，且，現沿翻折，使得，得到的圖形如圖（2）所示.

圖（1） 圖（2）

（1）證明：平面；

（2）若平面與平面所成角的平面角的余弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

試題（1）根據二面角定義得是二面角的平面角，即得平面平面.由等腰三角形性質得，根據面面垂直性質定理得平面，即得.根據勾股定理得，最后根據線面垂直判定定理得結論，（2）先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據方程組解得平面一個法向量，根據向量數量積求夾角，最后根據線面角與向量夾角互余關系列方程，解得的值.

試題解析：（1）如圖，連接.因為，且是二面角的平面角，故平面平面.

因為，為線段的中點，故，

因為平面平面，平面，故平面，

因為平面，故.

，故，

即，因為，所以平面.

（2）因為，所以，由（I）知，平面，所以兩兩垂直，

如圖，建立空間直角坐標系，設，則，，，

則，.設平面的法向量為，

由得令可得，故；

又為平面的一個法向量，平面與平面所成角的平面角的余弦值為，

所以，解得（負值舍去），故.