【題目】如圖是函數
一個周期內的圖象，將
圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再把所得圖象向右平移
個單位長度，得到函數
的圖象.
（1）求函數和的解析式；
（2）若
，求
的所有可能的值；
（3）求函數
（
為正常數）在區間
內的所有零點之和.
【答案】（1）
，
；（2）
或1；（3）當
時，
；當
時，
；當
時，171
.
【解析】
（1）由三角函數圖象求得
，
，
，再由三角函數圖象的平移可得
；
（2）由
，解得
或
,再求解
即可；
（3）先解得
，再討論
與1的大小關系，再解三角方程，結合正弦函數圖象的對稱性求各零點之和即可.
解：（1）由圖可知,
,即
，即
，
則
，又
，又
，所以，
故
，
將
的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得函數解析式為
，再把所得圖象向右平移
個單位長度，得到函數的圖象，則
，
即，；
（2）當，即
，解得
即或,即
或
或
（
）
當時，所以
，
當時，
，
當時，
，
故的所有可能的值為或1；
（3）令
，即
，即
，
解得，又因為
，又
，所以 
，
當
時，由函數
的對稱軸方程可得在
，(
)有兩個解，且兩解之和
,
則在
的根之和為
，
當 
，即時，方程
無解，
當 
，即時，方程的解為
，(),則在的根之和為
，
當 
，即時，方程在
，(
)有兩個解，且兩解之和
,
則在的根之和為
，
綜上可得：當時，函數
在區間內的所有零點之和為
.
當時，函數在區間內的所有零點之和為
.
當時，函數在區間內的所有零點之和為
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元，每生產
千件，需另投入成本
，當年產量不足80千件時，
（萬元）；當年產量不小于80千件時，
（萬元），每件售價為0.05萬元，通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完．
（1）寫出年利潤
（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；
（2）年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若正項數列
滿足：
，則稱此數列為“比差等數列”．
（1）試寫出一個“比差等數列”的前
項；
（2）設數列是一個“比差等數列”，問
是否存在最小值，如存在，求出最小值；如不存在，請說明理由；
（3）已知數列是一個“比差等數列”，
為其前
項的和，試證明：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖（1）所示，五邊形
中，
，
，
分別是線段
的中點，且
，現沿
翻折，使得
，得到的圖形如圖（2）所示.
圖（1） 圖（2）
（1）證明：
平面
；
（2）若平面
與平面
所成角的平面角的余弦值為
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的頂點為原點，其焦點
到直線
的距離為
．設
為直線
上的點，過點
作拋物線
的兩條切線
，其中
為切點．
(1) 求拋物線
的方程；
(2) 當點
為直線
上的定點時，求直線
的方程；
(3) 當點
在直線
上移動時，求
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于函數
、
、
，如果存在實數
、
使得
，那么稱為、的生成函數.
（1）若
，
，
，則是否分別為、的生成函數？并說明理由；
（2）設
，
，
，
，生成函數，若不等式
在
上有解，求實數
的取值范圍；
（3）設
，
取
，
，生成函數圖象的最低點坐標為
，若對于任意正實數
、
且
，試問是否存在最大的常數
，使
恒成立？如果存在，求出這個的值；如果不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
、
滿足關系
，其中
是常數.
（1）設
，
，求的解析式；
（2）是否存在函數及常數（
）使得
恒成立？若存在，請你設計出函數及常數；不存在，請說明理由；
（3）已知
時，總有
成立，設函數
（
）且
，對任意
，試比較
與
的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是由正整數構成的數表，用aij表示i行第j個數（i，j∈N＋）．此表中ail＝aii＝i，每行中除首尾兩數外，其他各數分別等于其“肩膀”上的兩數之和．
（1）寫出數表的第六行（從左至右依次列出）．
（2）設第n行的第二個數為bn（n≥2），求bn．
（3）令
，記Tn為數列
前n項和，求
的最大值，并求此時n的值．
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