Question

設a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin²x的定義域是．給出下列幾個命題：
①f（x）在處取得小值；
②是f（x）的一個單調遞減區間；
③f（x）的最大值為2；
④使得f（x）取得最大值的點僅有一個．
其中正確命題的序號是________．（將你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

②③④
分析：利用二倍角公式化簡函數f（x），然后由f（）=，求出a的值，進一步化簡為f（x）=2sin（2x-），然后根據x的范圍求出2x-的范圍，利用單調性求出函數的最大值和最小值．根據函數單調性及最值即可選出答案．
解答：f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin²x=asinxcosx-cos²x+sin²x=sin2x-cos2x，
由f（）=，得=，解得a=2．
所以f（x）=2sin（2x-），
當x∈[，]時，2x-∈[，]，f（x）是增函數，
當x∈[，]時，2x-∈[，]，f（x）是減函數，
所以函數f（x）在[，]上的最大值是：f（）=2，
故③正確；
且當f（x）取得最大值的點僅有一個．
故④正確；
由上述單調性知：是f（x）的一個單調遞減區間，
故②正確；
又f（）=，f（）=，
所以函數f（x）在[，]上的最小值為：f（）=；
故①錯誤．
故答案為：②③④．
點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡，二倍角公式的應用，三角函數的求值，函數的單調性、最值，考查計算能力，常考題型．