Question

已知拋物線y²=4x的弦AB中點的橫坐標為2，則|AB|的最大值為（　　）

• A、1
• B、3
• C、6
• D、12

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意，設直線AB的方程為y=kx+b，代入拋物線y²=4x，再結合弦長公式|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|表示出|AB|，把弦長用引入的參數表示出來，再由中點的橫坐標為2，研究出參數k，b的關系，使得弦長公式中只有一個參數，再根據其形式判斷即可得出最值．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，
令直線AB的方程為y=kx+b，代入拋物線y²=4x得k²x²+2（kb-2）x+b²=0，
故有x₁+x₂=

2(2-kb)

k2

，x₁x₂=

b2

k2

，
故有4=

2(2-kb)

k2

，解得b=

2-2k2

k

，即x₁x₂=

4-8k2+4k4

k4

，
又|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

16-4× 4-8k2+4k4 k4

，
=4

1+k2

2k2-1 k4

=4

2+[(- 1 k2 - 1 2 )2+ 1 4 ]

≤4×

9 4

=6．
故|AB|的最大值為6，
故選C．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，解題的關鍵是用弦垂公式表示出弦長，再結合題設中所給的條件將弦長表示成某個量的函數，利用求最值的方法求出最值．本題比較抽象，難點在二把弦長用參數表示出來之間，需要做大量的運算，做題時要有耐心，平時要注意提高符號運算能力．